Lec 12: 抽象代数 (Abstract Algebra)¶
1. 代数结构¶
1.1 二元运算¶
集合 \(S\) 上的二元运算 \(\circ\) 是 \(S \times S \to S\) 的函数
| 性质 | 定义 |
|---|---|
| 封闭性 | \(\forall a,b \in S, a\circ b \in S\) |
| 结合律 | \(\forall a,b,c \in S, (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)\) |
| 交换律 | \(\forall a,b \in S, a\circ b = b\circ a\) |
| 幺元 (identity) | \(\exists e \in S, \forall a \in S, e\circ a = a\circ e = a\) |
| 逆元 (inverse) | \(\forall a \in S, \exists b \in S, a\circ b = b\circ a = e\) |
1.2 代数系统¶
代数系统 \((S, \circ_1, \circ_2, \ldots, \circ_k)\)：集合 \(S\) 和定义在 \(S\) 上的若干运算构成
2. 群 (Group)¶
2.1 定义¶
群 \((G, \circ)\) 满足： 1. 封闭性 2. 结合律 3. 存在幺元 \(e\) 4. 每个元素有逆元
2.2 群的分类¶
| 类型 | 附加条件 |
|---|---|
| 阿贝尔群 (Abelian group) | 满足交换律 |
| 有限群 (finite group) | \(G\) 是有限集合 |
| 无限群 (infinite group) | \(G\) 是无限集合 |
2.3 子群 (Subgroup)¶
\(H \subseteq G\) 是子群，当 \(H\) 在群运算下也构成群
3. 环 (Ring)¶
环 \((R, +, \cdot)\) 满足： 1. \((R, +)\) 是阿贝尔群 2. \((R, \cdot)\) 是半群（满足结合律） 3. 分配律：\(a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c\)，\((b+c)\cdot a = b\cdot a + c\cdot a\)
4. 域 (Field)¶
域 \((F, +, \cdot)\) 满足： 1. \((F, +)\) 是阿贝尔群（加法群） 2. \((F - \{0\}, \cdot)\) 是阿贝尔群（乘法群） 3. 分配律成立
常见域：\(\mathbb{Q}\)（有理数域）、\(\mathbb{R}\)（实数域）、\(\mathbb{C}\)（复数域）