大学物理（乙）第10章 气体动理论¶
📘 基于课堂讲义整理 | 初学友好版
🌡️ 热学是什么？¶
热学 研究热运动的规律及其对物质宏观性质的影响。
- 热运动 = 构成物体的大量微观粒子永不停息的无规则运动
- 两大分支学科：
| 分支 | 角度 | 方法 |
|---|---|---|
| 热力学 | 宏观 | 从实验定律出发，逻辑推理 |
| 统计力学 | 微观 | 从微观结构出发，统计平均 |
打个比方：热力学像是看"GDP"这样的宏观指标来研究经济；统计力学像是研究每个个体的消费行为然后统计出整体规律。
§10.1 热力学系统 · 平衡态 · 状态参量 · 理想气体¶
一、热力学系统的分类¶
| 类型 | 物质交换 | 能量交换 | 大白话 |
|---|---|---|---|
| 孤立系统 | ❌ | ❌ | 完全密封的保温杯 |
| 封闭系统 | ❌ | ✅ | 密封但不保温的瓶子 |
| 开放系统 | ✅ | ✅ | 开口的杯子 |
本章主要讨论封闭系统。
二、平衡态¶
定义：系统的宏观性质（温度、压强等）不随时间改变的状态。
关键理解： - 宏观上 "静止"，微观上分子仍在疯狂运动 - 是一种热动平衡（动态平衡） - 需要同时满足：热平衡（温度均匀）+ 力学平衡（压强均匀）+ 化学平衡（成分均匀）
三、状态参量¶
描述平衡态的独立宏观量：
- 对于气体：\(p\)（压强）、\(V\)（体积）、\(T\)（温度）中任意两个就够了
- 以状态参量为坐标作的图叫状态图
四、理想气体状态方程¶
理想气体 = 忽略分子间相互作用的气体模型。
实验定律： - 波义耳-马略特定律：\(T\) 不变时，\(pV = C\) - 查理定律：\(V\) 不变时，\(p \propto T\) - 盖-吕萨克定律：\(p\) 不变时，\(V \propto T\)
状态方程（核心公式）：
或者：
其中： - \(p\) — 压强 (Pa) - \(V\) — 体积 (m³) - \(\nu\) — 摩尔数 (mol) - \(R = 8.31 \text{ J/(mol·K)}\) — 摩尔气体常数 - \(n = N/V\) — 分子数密度 (个/m³) - \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}\) — 玻尔兹曼常数 - \(N_A = 6.02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\) — 阿伏伽德罗常数
\(k_B = R / N_A\)
什么时候可以看成理想气体？ 压强→0 时，气体分子间距大，相互作用可以忽略。
§10.2 理想气体的压强和温度¶
一、理想气体的微观模型¶
三个假设： 1. 分子本身大小 << 分子间距 → 视为质点 2. 除碰撞瞬间外，分子间无相互作用力 → 匀速直线运动 3. 碰撞是完全弹性碰撞 → 能量守恒
一句话：理想气体 = 自由地无规则运动着的弹性小球的集合。
二、统计假设¶
- 平衡态下，分子空间分布均匀：\(n = N/V\) 处处相等
- 平衡态下，各方向运动概率相等：
注意：\(\overline{v_x} = \overline{v_y} = \overline{v_z} = 0\)（速度分量正负抵消），但平方平均值相等，因为压强涉及 \(v_x^2\)。
三、压强公式的推导逻辑¶
想象密集的雨点打在伞面上 → 气体分子不断撞击器壁 → 产生压强。
推导思路： 1. 一个分子撞击一次器壁，动量变化：\(\Delta p_x = -2mv_x\) 2. 往返一次时间：\(\Delta t = 2x/v_x\) 3. 一个分子对器壁的平均力：\(f = \frac{2mv_x}{2x/v_x} = \frac{mv_x^2}{x}\) 4. \(N\) 个分子总力：\(F = \sum \frac{mv_{ix}^2}{x}\) 5. 压强：\(p = \frac{F}{yz} = \frac{1}{xyz} \sum mv_{ix}^2 = \frac{N}{V} \cdot m\overline{v_x^2}\) 6. 用 \(n = N/V\) 和 \(\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) 代入：
压强公式：
其中 \(\overline{\varepsilon_t} = \frac{1}{2}m\overline{v^2}\) 是分子的平均平动动能。
关键理解：压强是大量分子碰撞的统计平均结果，不是单个分子造成的。
四、温度公式¶
联立压强公式 \(p = \frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_t}\) 和状态方程 \(p = nk_B T\)：
温度的本质：温度是分子平均平动动能的量度！
- 温度越高 → 分子运动越剧烈
- 温度是统计量，对个别分子没有意义
五、方均根速率¶
由 \(\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}k_B T\) 直接推出：
\(R = N_A k_B\)，\(\mu = N_A m\)（摩尔质量）
规律： - 同温度下，分子质量越大，方均根速率越小 - 同种分子，温度越高，方均根速率越大
§10.3 能量均分定理 · 理想气体的热力学能¶
一、自由度（degrees of freedom）¶
定义：决定一个物体空间位置所需的独立坐标数。
| 分子类型 | 平动自由度 | 转动自由度 | 振动自由度 | 总自由度 \(i\) |
|---|---|---|---|---|
| 单原子分子（He, Ne） | 3 | 0 | 0 | 3 |
| 刚性双原子分子（O₂, N₂） | 3 | 2 | 0 | 5 |
| 刚性多原子分子（H₂O, CO₂） | 3 | 3 | 0 | 6 |
刚性 = 不考虑振动（室温下通常可以忽略振动）
二、能量均分定理¶
核心思想：在平衡态下，每种运动形式的每个自由度平均分到 \(\frac{1}{2}k_B T\) 的能量。
推导来源（平动）： - 平动有三个自由度，总平均平动动能 \(\frac{3}{2}k_B T\) - 每个平动自由度：\(\frac{1}{2}kT\) - 推广到转动 → 每个转动自由度也是 \(\frac{1}{2}kT\)
一个分子的平均动能：
三、理想气体的内能（热力学能）¶
理想气体分子间无相互作用 → 无势能 → 内能 = 所有分子的动能之和。
\(E = \nu N_A \cdot \frac{i}{2}k_B T = \nu \cdot \frac{i}{2}RT\)
重要结论：理想气体的内能只取决于温度和自由度，与压强、体积无关。
内能是温度的单值函数：\(E = E(T)\)
§10.4 麦克斯韦速率分布律¶
一、速率分布函数¶
问题：\(N\) 个分子在平衡态下，速率是如何分布的？
定义：速率分布函数 \(f(v)\)
物理意义： - \(f(v)dv\) = 速率在 \(v \sim v+dv\) 区间的分子数占比 - \(Nf(v)dv\) = 速率在该区间的分子数 - \(\int_{v_1}^{v_2} f(v)dv\) = 速率在 \(v_1 \sim v_2\) 区间的分子数占比 - 归一化条件：\(\int_0^\infty f(v)dv = 1\)（总面积 = 100%）
二、麦克斯韦速率分布函数¶
麦克斯韦1859年从理论上导出的分布函数：
或者写成：\(f(v) = 4\pi \left(\frac{b}{\pi}\right)^{3/2} e^{-bv^2} v^2\)，其中 \(b = \frac{m}{2kT}\)
三、三种统计速率（考试重点！）¶
| 速率 | 公式 | 用途 | 根号里的"特征数" |
|---|---|---|---|
| 最概然速率 \(v_p\) | \(\sqrt{\frac{2kT}{m}} = \sqrt{\frac{2RT}{\mu}}\) | 分布曲线峰值位置 | 2 |
| 平均速率 \(\bar{v}\) | \(\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\) | 计算平均自由程 | 8/π ≈ 2.55 |
| 方均根速率 \(\sqrt{\overline{v^2}}\) | \(\sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}}\) | 计算压强和平均动能 | 3 |
📏 大小关系（必记）：
\[\sqrt{\overline{v^2}} > \bar{v} > v_p\]比例关系：\(\sqrt{\overline{v^2}} : \bar{v} : v_p = \sqrt{3} : \sqrt{8/\pi} : \sqrt{2}\)
口诀：方均根 > 平均 > 最概然（根号里的数：3 > 2.55 > 2）
四、分布曲线的变化规律¶
- 温度升高（同种气体）→ 曲线变宽变平，峰值右移 → 高速分子比例增大
- 分子质量减小（同温度）→ 曲线变宽变平，峰值右移 → 高速分子比例增大
总面积始终 = 1（归一化）
§10.5 等温气压公式 · 玻尔兹曼分布律¶
一、等温气压公式¶
考虑重力场中气柱的受力平衡 → 压强随高度指数衰减：
分子数密度随高度分布：
大白话：海拔越高，空气越稀薄，气压越低。高度每升高一定距离，气压按指数衰减。
二、玻尔兹曼分布律¶
玻尔兹曼因子：\(e^{-\varepsilon/(kT)}\)
一般形式：处于能量为 \(\varepsilon\) 的状态的粒子数 \(\propto e^{-\varepsilon/(kT)}\)
- 适用于任何保守力场中的经典系统
- 温度越高 → 分布越均匀
- 粒子质量越大 → 越向低处聚集
三、对能级的推广¶
量子物理中粒子只能处于分立能级 \(\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2, ...\)，每个能级上的粒子数仍满足：
§10.6 气体分子的碰撞频率与平均自由程¶
一、物理图像¶
分子在气体中不断碰撞，路径是迂回曲折的折线。
二、平均碰撞频率 \(\overline{Z}\)¶
定义：一个分子在单位时间内与其他分子碰撞的平均次数。
推导思路：分子以相对速率运动，碰撞截面为 \(\sigma = \pi d^2\) 的圆柱体内的分子都会被撞到：
- \(d\)：分子有效直径
- \(\bar{v}\)：平均速率
- \(n\)：分子数密度
规律：分子越大（\(d\) 大）、越挤（\(n\) 大）、跑得越快（\(\bar{v}\) 大）→ 碰撞越频繁。
三、平均自由程 \(\overline{\lambda}\)¶
定义：分子在连续两次碰撞之间走过的平均距离。
规律：越拥挤（\(n\) 或 \(p\) 大）→ 没走几步就撞 → 自由程短。
标准状况下空气分子：\(\overline{\lambda} \approx 6.9 \times 10^{-8}\) m，\(\overline{Z} \approx 6.5 \times 10^9\) /s
四、典型问题¶
Q：恒压下加热理想气体，\(\overline{\lambda}\) 和 \(\overline{Z}\) 如何变化？
- \(\overline{Z} \propto \frac{1}{\sqrt{T}}\) → 减小（\(n\) 减小的影响 > \(\bar{v}\) 增大的影响）
- \(\overline{\lambda} \propto T\) → 增大
Q：容器线度 < \(\overline{\lambda}\)（理论值）时？ - 实际 \(\overline{\lambda}\) = 容器线度 - 分子更多与器壁碰撞而非分子间碰撞
📋 本章公式速查表¶
| 公式 | 含义 |
|---|---|
| \(pV = \nu RT = \frac{M}{\mu}RT\) | 理想气体状态方程 |
| \(p = nk_B T\) | 状态方程（微观形式） |
| \(p = \frac{1}{3}nm\overline{v^2} = \frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_t}\) | 压强公式 |
| \(\overline{\varepsilon_t} = \frac{3}{2}k_B T\) | 温度公式（平均平动动能） |
| \(\overline{\varepsilon} = \frac{i}{2}k_B T\) | 分子平均动能（含转动） |
| \(E = \frac{i}{2}\nu RT = \frac{i}{2}pV\) | 理想气体内能 |
| \(f(v) = 4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2} e^{-mv^2/(2kT)} v^2\) | 麦克斯韦速率分布 |
| \(v_p = \sqrt{2kT/m}\) | 最概然速率 |
| \(\bar{v} = \sqrt{8kT/(\pi m)}\) | 平均速率 |
| \(\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{3kT/m}\) | 方均根速率 |
| \(p = p_0 e^{-\mu gh/(RT)}\) | 等温气压公式 |
| \(\overline{Z} = \sqrt{2}\pi d^2 \bar{v} n\) | 平均碰撞频率 |
| \(\overline{\lambda} = 1/(\sqrt{2}\pi d^2 n)\) | 平均自由程 |
📌 常见气体摩尔质量（常考）¶
| 气体 | \(\mu\) (g/mol) |
|---|---|
| H₂ | 2 |
| He | 4 |
| N₂ | 28 |
| O₂ | 32 |
| 空气 | 29 |