大学物理（乙）Ⅰ 公式大全¶
涵盖：第10章 气体动理论 + 第11章 热力学基础
第10章 气体动理论¶
一、基本常数¶
| 符号 | 数值 | 含义 |
|---|---|---|
| \(k_B\) | \(1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}\) | 玻尔兹曼常数 |
| \(R\) | \(8.31 \text{ J/(mol·K)}\) | 摩尔气体常量 |
| \(N_A\) | \(6.02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\) | 阿伏伽德罗常数 |
二、理想气体状态方程¶
核心公式（两种形式）：
- \(p\) — 压强 (N/m²)
- \(V\) — 体积 (m³)
- \(\nu\) — 摩尔数
- \(n = N/V\) — 分子数密度
- \(T\) — 热力学温度 (K)
常考气体摩尔质量 \(\mu\) (g/mol)：H₂: 2, He: 4, N₂: 28, O₂: 32
三、理想气体压强公式¶
其中 \(\bar{\varepsilon}_t = \frac{1}{2}m\overline{v^2}\) 为分子平均平动动能。
统计假设： $$ \overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2} $$
四、温度公式¶
温度是分子平均平动动能的量度：
方均根速率： $$ \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}} $$
五、自由度与能量均分定理¶
自由度 \(i\)：
| 分子类型 | 平动 | 转动 | 振动 | 总 \(i\) |
|---|---|---|---|---|
| 单原子分子 | 3 | 0 | 0 | 3 |
| 刚性双原子分子 | 3 | 2 | 0 | 5 |
| 非刚性双原子分子 | 3 | 2 | 1 | 6（振动×2） |
| 刚性多原子分子 | 3 | 3 | 0 | 6 |
能量均分定理：温度为 \(T\) 的平衡态下，分子每个自由度的平均动能都等于 \(\frac{1}{2}k_B T\)。
一个分子的平均能量： $$ \bar{\varepsilon} = \frac{i}{2}k_B T $$
对于非刚性分子（含振动，振动有动能+势能，贡献 \(2 \times \frac{1}{2}kT\)）： $$ \bar{\varepsilon} = \frac{1}{2}(t + r + 2s)k_B T $$
六、理想气体的内能（热力学能）¶
核心结论：理想气体内能只是温度的单值函数，与 \(p\)、\(V\) 无关！
增量形式： $$ \Delta E = \nu \cdot \frac{i}{2}R \cdot \Delta T $$
七、麦克斯韦速率分布律¶
速率分布函数： $$ f(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} e^{-\frac{mv^2}{2kT}} v^2 $$
归一化条件： $$ \int_0^\infty f(v) dv = 1 $$
三种统计速率：
| 速率 | 公式 | 比值 |
|---|---|---|
| 最概然速率 \(v_p\) | \(v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}} = \sqrt{\frac{2RT}{\mu}}\) | |
| 平均速率 \(\bar{v}\) | \(\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\) | \(v_p : \bar{v} : \sqrt{\overline{v^2}}\) |
| 方均根速率 \(\sqrt{\overline{v^2}}\) | \(\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}}\) | \(= \sqrt{2} : \sqrt{8/\pi} : \sqrt{3}\) |
八、玻尔兹曼分布律（等温气压公式）¶
等温气压公式： $$ p = p_0 e^{-\frac{\mu g h}{RT}} $$
分子数密度按高度分布： $$ n = n_0 e^{-\frac{mgh}{k_B T}} = n_0 e^{-\frac{\varepsilon_p}{k_B T}} $$
玻尔兹曼因子：\(e^{-\varepsilon / kT}\)
玻尔兹曼分布（一般形式）： $$ N_i = A e^{-\varepsilon_i / kT} $$
九、平均碰撞频率与平均自由程¶
平均碰撞频率： $$ \bar{Z} = \sqrt{2}\pi d^2 \bar{v} n $$
平均自由程： $$ \boxed{\bar{\lambda} = \frac{\bar{v}}{\bar{Z}} = \frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n} = \frac{k_B T}{\sqrt{2}\pi d^2 p}} $$
- \(d\) — 分子有效直径
- \(\sigma = \pi d^2\) — 碰撞截面
推论：恒压下 \(T \uparrow \rightarrow n \downarrow \rightarrow \bar{\lambda} \uparrow\)
第10章小结（一页纸）¶
第11章 热力学基础¶
一、热力学第一定律¶
系统从外界吸收的热量 = 内能增量 + 系统对外作功
微分形式： $$ dQ = dE + dW $$
正负号约定： - 系统对外界作功 \(W > 0\)，外界对系统作功 \(W < 0\) - 系统从外界吸热 \(Q > 0\)，系统向外界放热 \(Q < 0\)
准静态过程的功： $$ dW = pdV \quad\Rightarrow\quad W = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV $$
二、热容量¶
| 名称 | 定义 | 公式 |
|---|---|---|
| 热容 | \(C = \frac{dQ}{dT}\) | |
| 比热 | \(c = C/m\) | |
| 摩尔热容 | \(C_m = \frac{dQ}{\nu dT}\) |
三、定体摩尔热容 \(C_V\) 与定压摩尔热容 \(C_p\)¶
定体摩尔热容（\(V\) = 常量）： $$ \boxed{C_V = \frac{i}{2}R} $$
定压摩尔热容（\(p\) = 常量）： $$ \boxed{C_p = C_V + R = \frac{i+2}{2}R} $$
迈耶 (Mayer) 公式： $$ C_p = C_V + R $$
热容比（绝热指数）： $$ \boxed{\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{i+2}{i}} $$
| 分子类型 | \(i\) | \(C_V\) | \(C_p\) | \(\gamma\) |
|---|---|---|---|---|
| 单原子 | 3 | \(\frac{3}{2}R\) | \(\frac{5}{2}R\) | \(\frac{5}{3} \approx 1.67\) |
| 刚性双原子 | 5 | \(\frac{5}{2}R\) | \(\frac{7}{2}R\) | \(\frac{7}{5} = 1.4\) |
| 刚性多原子 | 6 | \(3R\) | \(4R\) | \(\frac{4}{3} \approx 1.33\) |
四、四种典型准静态过程（必须全部背熟！）¶
| 过程 | 特征 | 过程方程 | \(\Delta E\) | \(W\) | \(Q\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 等体 | \(V\) = 常量 | \(\frac{p}{T}\) = 常量 | \(\nu C_V \Delta T\) | 0 | \(\nu C_V \Delta T\) |
| 等压 | \(p\) = 常量 | \(\frac{V}{T}\) = 常量 | \(\nu C_V \Delta T\) | \(p\Delta V = \nu R\Delta T\) | \(\nu C_p \Delta T\) |
| 等温 | \(T\) = 常量 | \(pV\) = 常量 | 0 | \(\nu RT\ln\frac{V_2}{V_1} = \nu RT\ln\frac{p_1}{p_2}\) | \(=W\) |
| 绝热 | \(Q = 0\) | \(pV^\gamma\) = 常量 | \(\nu C_V \Delta T\) | \(= -\Delta E\) | 0 |
五、绝热过程的泊松公式¶
等价形式： $$ T V^{\gamma-1} = C_2 $$
绝热过程的功： $$ W = \frac{p_1 V_1 - p_2 V_2}{\gamma - 1} = \frac{\nu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1} $$
绝热线 vs 等温线：绝热线比等温线更陡（因为 \(\gamma > 1\)）。
六、多方过程 *¶
| \(n\) | 对应过程 |
|---|---|
| \(n = 0\) | 等压过程 |
| \(n = 1\) | 等温过程 |
| \(n = \gamma\) | 绝热过程 |
| \(n = \infty\) | 等体过程 |
多方摩尔热容： $$ C_n = C_V + \frac{R}{1-n} $$
多方过程的功： $$ W = \frac{p_1 V_1 - p_2 V_2}{n - 1} $$
七、循环过程¶
正循环（热机循环）— 顺时针，吸热对外作功 逆循环（制冷循环）— 逆时针，外界作功从低温吸热
循环特征：\(\Delta E = 0\)（回到初态）
热机效率： $$ \boxed{\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}} $$
制冷系数： $$ \boxed{\omega = \frac{Q_2}{|W|} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}} $$
- \(Q_1\) — 从高温热源吸收的热量
- \(Q_2\) — 向低温热源放出的热量
- \(W = Q_1 - Q_2\) — 净功
八、全章核心公式速查（一页纸）¶
九、解题通用方法¶
- 先画 \(p\)-\(V\) 图，标出过程方向
- 利用状态方程或过程方程求出未知态参量
- 先算 \(\Delta E\) 和 \(W\)，再用热一律求 \(Q\)（或反过来）
- 注意：\(\Delta E = \nu C_V \Delta T\) 适用于任何过程的理想气体
整理自：大学物理（乙）Ⅰ — 第10章 气体动理论、第11章 热力学基础