1. 理论基础：角动量定理¶

根据我们之前讨论过的力学原理，一个质点角动量的变化率等于它所受的合外力矩。其数学表达式为：
dL⃗dt=τ⃗dtdL=τ
其中：

L⃗=r⃗×p⃗=m(r⃗×v⃗)L=r×p=m(r×v) 是质点关于某参考点（此处取地球质心）的角动量。
τ⃗=r⃗×F⃗τ=r×F 是合外力关于同一参考点的力矩。

2. 关键分析：卫星所受的力矩¶

对于绕地球做椭圆运动的卫星：

受力：只受地球的万有引力 F⃗F，方向永远指向地球质心。
位矢：从地球质心指向卫星的矢量 r⃗r。

由于力 F⃗F 与位矢 r⃗r 始终共线（方向相反），它们的矢量积（叉乘）为零：
τ⃗=r⃗×F⃗=r⃗×(−GMmr2r^)=−GMmr3(r⃗×r⃗)=0⃗τ=r×F=r×(−r2GMmr^)=−r3GMm(r×r)=0
结论：卫星所受关于地球质心的合外力矩恒为零。

3. 最终推论：角动量守恒¶

将 τ⃗=0⃗τ=0 代入角动量定理：
dL⃗dt=0⃗dtdL=0
这意味着角动量 L⃗L 不随时间变化，是一个常矢量。即：
L⃗=m(r⃗×v⃗)=常矢量(大小和方向均不变)L=m(r×v)=常矢量(大小和方向均不变)

角动量守恒的物理图像与后果¶

理解了这个数学推导，我们可以从更直观的物理图像来看其含义和影响：

轨道平面固定：因为角动量 L⃗L 是常矢量，其方向不变。而 L⃗L 的方向垂直于由 r⃗r 和 v⃗v 构成的平面（根据叉乘定义）。这意味着卫星的整个椭圆轨道被限制在一个固定的平面内，不会上下翻滚。
开普勒第二定律（面积速度定律）的实质：
- 角动量的大小为 L=m∣r⃗×v⃗∣=mrvsin⁡θ=mrv⊥L=m∣r×v∣=mrvsinθ=mrv⊥，其中 v⊥v⊥ 是速度垂直于位矢的分量。
- 在极短时间 ΔtΔt 内，卫星扫过的面积 ΔA≈12r(v⊥Δt)ΔA≈21r(v⊥Δt)。
- 因此，面积速度 dAdt=12rv⊥=L2mdtdA=21rv⊥=2mL。
- 由于 LL 和 mm 是常数，所以 dAdtdtdA = 常数。这就是开普勒第二定律：卫星与地球的连线在相等时间内扫过相等的面积。
- 直观表现：在椭圆轨道的近地点，rr 小，为了保持 rv⊥rv⊥ 不变，v⊥v⊥（即垂直于连线的速度分量，近似为总速度）必须变大，所以卫星运动得快。在远地点，rr 大，所以卫星运动得慢。

刚体运动学与动力学公式总结¶

一、刚体运动学¶

1. 平动 (Translation)¶

质心位置： $\vec{r}_c = \frac{1}{M} \sum m_i \vec{r}_i$
质心速度： $\vec{v}_c = \frac{d\vec{r}_c}{dt}$
质心加速度： $\vec{a}_c = \frac{d\vec{v}_c}{dt}$

2. 定轴转动 (Rotation about a Fixed Axis)¶

角速度： $\vec{\omega} = \frac{d\vec{\theta}}{dt}$ （方向沿转轴，符合右手定则）
角加速度： $\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$
线量与角量关系（对转轴上一点 $O$ 到刚体点 $P$ 的位矢 $\vec{r}_P$）：
- 线速度： $\vec{v}_P = \vec{\omega} \times \vec{r}_P$
- 切向加速度： $\vec{a}_t = \vec{\alpha} \times \vec{r}_P$
- 法向加速度： $\vec{a}_n = \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_P)$，大小为 $a_n = \omega^2 r_{\perp}$

3. 平面平行运动 (Plane Combined Motion)¶

运动分解： 随质心的平动 $+$ 绕质心的转动。
任意点 $P$ 的速度： $\vec{v}_P = \vec{v}_c + \vec{\omega} \times \vec{r}_{cP}$
- 其中 $\vec{r}_{cP}$ 为从质心 $C$ 指向 $P$ 的矢量。

二、刚体动力学¶

1. 质心运动定理¶

\[\sum \vec{F}_{ext} = M\vec{a}_c\]

用途： 求解质心运动轨迹或求支座/轴向的约束力。

2. 转动定律¶

对固定轴： $\sum M_z = I_z \beta$ （或写做 $I_z \alpha$）
对质心轴（通用形式）： $\sum \vec{M}_c = \frac{d\vec{L}_c}{dt}$
- 若绕固定轴或质心轴转动，上式简化为：$\sum M_c = I_c \alpha$

3. 角动量 (Angular Momentum)¶

质点对定点 $O$： $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$
刚体绕定轴： $L_z = I_z \omega$
角动量定理（积分形式）： $\int_{t_1}^{t_2} \sum \vec{M}_{ext} \, dt = \vec{L}_2 - \vec{L}_1$

4. 转动惯量 (Moment of Inertia)¶

定义式： $I = \sum m_i r_i^2$ 或 $I = \int r^2 \, dm$
平行轴定理： $I = I_c + md^2$ （$d$ 为两平行轴间距）

刚体类型	转动轴位置	转动惯量 I
细棒 (长 $L$)	绕一端	$I = \frac{1}{3}mL^2$
细棒 (长 $L$)	绕中心	$I = \frac{1}{12}mL^2$
圆盘/圆柱 (半径 $R$)	绕中心轴	$I = \frac{1}{2}mR^2$
球体 (半径 $R$)	绕直径	$I = \frac{2}{5}mR^2$

5. 动能定理¶

平动动能： $E_{k,tr} = \frac{1}{2}mv_c^2$
转动动能： $E_{k,rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$
总动能（平面运动）： $E_k = \frac{1}{2}mv_c^2 + \frac{1}{2}I_c \omega^2$
定理内容： $W_{ext} + W_{int} = \Delta E_k$ （注意：刚体内力做功之和通常为 0）

三、解题核心思路：求解约束力¶

对于类似“棒对轴的约束力”问题，遵循以下两步走方案：

求运动： 利用 转动定律 ($\sum M = I\beta$) 求出角加速度 $\beta$ 和角速度 $\omega$。
求力： 利用 质心运动定理 ($\sum \vec{F} = m\vec{a}_c$)。
- 注意质心加速度 $\vec{a}_c$ 的两个分量：
  - 切向：$a_{ct} = \beta \cdot r_c$
  - 法向：$a_{cn} = \omega^2 \cdot r_c$
- 将运动量代入分量方程，即可解得约束力。
简谐振动 (Simple Harmonic Motion) 公式总结¶

一、核心定义与运动方程¶

1. 动力学定义 (Dynamic Definition)¶

简谐振动的特征是受到的回复力与位移成正比且方向相反：

\[F = -kx\]

$k$：劲度系数（回复力常数）。
负号：表示 $F$ 始终指向平衡位置。

2. 运动学方程 (Kinematic Equation)¶

物体位移随时间变化的通解为：

\[x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)\]

$A$：振幅，振动的最大范围。
$\omega$：角频率，描述振动快慢。
$\phi(t) = \omega t + \phi_0$：$t$ 时刻的相位。
$\phi_0$：初相位，决定 $t=0$ 时的状态。

3. 速度与加速度 (Velocity & Acceleration)¶

通过对位移 $x(t)$ 求导获得：

速度： $v(t) = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \phi_0)$
- 最大速度（速度幅值）：$v_{max} = \omega A$
加速度： $a(t) = \frac{dv}{dt} = -\omega^2 A \cos(\omega t + \phi_0) = -\omega^2 x(t)$
- 最大加速度（加速度幅值）：$a_{max} = \omega^2 A$
核心特征： $a = -\omega^2 x$，即加速度与位移成正比且方向相反。

二、核心物理量关系¶

1. 周期、频率与角频率¶

\[\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\]

对于常见的物理模型：

弹簧振子： $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \implies T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
$F=-kx=m{d^2x \over dt^2}$
单摆 (小角度)： $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \implies T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

2. 振幅与初相位的确定¶

由初始条件 $(x_0, v_0)$ 唯一确定：

振幅： $A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}$
初相位： $\tan \phi_0 = -\frac{v_0}{\omega x_0}$

注意： 计算 $\phi_0$ 时需结合 $x_0$ 和 $v_0$ 的正负号判断旋转矢量所在的象限。

三、能量公式 (Energy)¶

在简谐振动中，动能与势能不断转化，但系统总机械能守恒：

动能： $E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi_0)$
势能： $E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k A^2 \cos^2(\omega t + \phi_0)$
总机械能：

\[E = E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\]

总能量仅与振幅的平方有关，能量在振动过程中保持常数。

四、旋转矢量表示法 (Rotating Vector)¶

旋转矢量法是解决相位、相消/相干干涉、初相位判断的神器。

简谐振动量	对应旋转矢量特征
振幅 $A$	矢量的模长
角频率 $\omega$	矢量逆时针旋转的角速度
初相位 $\phi_0$	$t=0$ 时矢量与 $x$ 轴正方向的夹角
瞬时位移 $x$	矢量在 $x$ 轴上的投影
运动方向	矢量在上方（第一、二象限）时，$v < 0$；在下方时，$v > 0$

在简谐振动（SHM）中，已知任意时刻的位移 $x$ 和速度 $v$，求振幅 $A$ 的最快方法是利用能量守恒或旋转矢量关系。

核心公式¶

最直接的计算公式如下：

\[A = \sqrt{x^2 + \left( \frac{v}{\omega} \right)^2}\]

能量守恒法：

系统的总机械能等于位移最大处的势能，也等于任意时刻动能与势能之和：

\[\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2\]

将 $k = m\omega^2$ 代入并消去 $\frac{1}{2}m$，得：

\[\omega^2 A^2 = \omega^2 x^2 + v^2 \implies A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}\]
旋转矢量法：

根据运动方程：
1. 位移：$x = A \cos(\omega t + \phi_0)$
2. 速度：$v = -\omega A \sin(\omega t + \phi_0) \implies \frac{v}{\omega} = -A \sin(\omega t + \phi_0)$
  
  利用三角恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$：
  
  \[x^2 + \left(\frac{v}{\omega}\right)^2 = A^2 \cos^2(\dots) + A^2 \sin^2(\dots) = A^2\]

2. 计算时的注意事项¶

在使用该公式前，你通常需要先确定 角频率 $\omega$。在题目中，$\omega$ 往往通过以下方式给出：

已知质量和劲度系数： $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
已知周期或频率： $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$
已知单摆长度： $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$

3. 解题技巧¶

如果题目给的是初始状态（即 $t=0$ 时的 $x_0$ 和 $v_0$），这个公式同样适用，且能帮你进一步求出初相位 $\phi_0$：

\[\phi_0 = \arctan\left( -\frac{v_0}{\omega x_0} \right)\]

既然我们已经讨论了简谐振动（SHM）的通用公式，单摆（Simple Pendulum） 是物理学中最经典的 SHM 模型之一。

它的核心逻辑在于：当摆角 $\theta$ 很小时，重力的切向分力充当了“回复力”，使得摆球的运动近似为简谐振动。

1. 核心公式系统¶

对于一个长度为 $L$、摆球质量为 $m$ 的单摆，在重力加速度为 $g$ 的环境下：

动力学特征¶

回复力： $F_t = -mg \sin\theta \approx -mg\theta$ （当 $\theta < 5^\circ$ 时）
角频率 $\omega$： $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$

注意： 单摆的快慢只取决于摆长和重力加速度，与摆球的质量 $m$ 无关。

周期与频率¶

周期公式： $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ （这就是著名的单摆周期公式）
频率公式： $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$

2. 运动方程（角度形式）¶

由于单摆在做圆弧运动，我们通常用角度 $\theta$ 随时间的变化来描述：

\[\theta(t) = \theta_{max} \cos(\omega t + \phi_0)\]

$\theta_{max}$：最大摆角（振幅）。
$\omega = \sqrt{g/L}$。

3. 能量转化¶

单摆运动本质上是动能与重力势能的交替转换：

最高点： 动能为 0，重力势能最大。
最低点（平衡位置）： 重力势能最小（通常设为 0），动能最大。
最大速度： $v_{max} = \omega A = \sqrt{\frac{g}{L}} \cdot (L \cdot \theta_{max})$

4. 重点提示：什么时候“简谐”会失效？¶

大角度： 如果摆角 $\theta$ 很大（例如超过 $15^\circ$），$\sin\theta \approx \theta$ 的近似就不再成立，周期 $T$ 会随振幅增大而略微变长。
变重力环境： 如果单摆在加速上升的电梯里，等效重力加速度变为 $g' = g + a$，周期会变短。

扭摆¶

扭摆（Torsional Pendulum） 是大物中除单摆和弹簧振子外的第三类经典简谐振动模型。它的核心逻辑不是线性的“力”，而是力矩。

当一根金属细丝被扭转时，它会产生一个试图恢复原状的弹性恢复力矩。

一、核心定义与公式¶

1. 动力学方程¶

扭摆遵循转动定律 $\sum M = I\alpha$。当转角 $\theta$ 不大时，恢复力矩 $M$ 与转角成正比：

\[M = -K\theta\]

$K$： 扭转常数（或称扭转硬度），取决于金属丝的材质和几何尺寸。
负号： 表示力矩方向始终指向平衡位置（转角为 0 的位置）。

2. 运动学特征¶

将 $M = I\alpha$（其中 $\alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}$）代入，得到：

\[I \frac{d^2\theta}{dt^2} = -K\theta \implies \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{K}{I}\theta = 0\]

这与简谐振动的标准形式完全吻合。

3. 角频率与周期¶

角频率： $\omega = \sqrt{\frac{K}{I}}$
周期公式：

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{K}}\]

关键结论： 扭摆的周期取决于刚体的转动惯量 $I$ 和金属丝的扭转常数 $K$。

二、扭摆的特殊用途：测量转动惯量¶

在大物实验中，扭摆最常见的用途是测量形状复杂物体的转动惯量。

实验逻辑：

定标： 先测出已知转动惯量 $I_{ref}$ 的物体在扭摆上的周期 $T_1$，从而反算出扭转常数 $K$。
测量： 放上待测物体，测出新周期 $T_2$。
计算： 利用周期公式求出待测物体的 $I$。

三、能量转化¶

扭摆的能量在转动动能与扭转弹性势能之间转化：

转动动能： $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$
扭转势能： $E_p = \frac{1}{2}K\theta^2$
总机械能： $E = \frac{1}{2}K\theta_{max}^2$ （守恒）

四、常见摆动模型对比¶

模型	恢复项	惯性项	周期 T
弹簧振子	劲度系数 $k$	质量 $m$	$2\pi\sqrt{m/k}$
单摆	重力因素 $g/L$	(抵消)	$2\pi\sqrt{L/g}$
扭摆	扭转常数 $K$	转动惯量 $I$	$2\pi\sqrt{I/K}$

热力学¶

1. 热力学系统的平衡态¶

含义：在没有外界影响（不加热、不戳它）时，一个系统的宏观性质（如温度、压强）不随时间改变的状态。
大白话：就是气体在盒子里“静置”了足够长的时间，大家都妥协了，整箱气体的温度、压强到处都一样，不再乱变了。

2. 理想气体状态方程¶

公式：

\[pV = \frac{m_{\text{气}}}{\mu}RT = \nu RT\]

且

\[p = nk T\]

(注：原PPT里写的是 $p=nkT$，这里的 $k$ 就是玻尔兹曼常数 $k_B$)
推导简述（宏观与微观的桥梁）：

根据宏观实验规律拼凑出 $pV = \nu RT$。因为摩尔数 $\nu = \frac{m_{\text{气}}}{\mu} = \frac{N}{N_A}$，代入得 $pV = \frac{N}{N_A}RT$。

令 $k = \frac{R}{N_A}$（玻尔兹曼常数），则 $pV = NkT$。两边同除以 $V$，定义单位体积分子数 $n = \frac{N}{V}$，即得 $p = nkT$。

3. 理想气体压强公式¶

公式：

\[p = \frac{1}{3}nm\overline{v^2} = \frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_t}$$ $$其中 n={N\over V}\]
大白话推导：
1. 想象单个分子（质量 $m$）以速度 $v_x$ 垂直撞击墙壁并弹性反弹，动量变化为 $\Delta p_x = 2mv_x$。
2. 分子在长度为 $L$ 的盒子里来回撞击一次需要的时间为 $\Delta t = \frac{2L}{v_x}$。
3. 根据动量定理，单个分子对墙壁的平均作用力 $f = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{mv_x^2}{L}$。
4. 假设有一整箱气体共 $N$ 个分子，由于空间是三维的，分子往各个方向跑的概率均等，所以 $\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$。
5. 总作用力 $F = N \cdot \frac{m\overline{v_x^2}}{L} = \frac{Nmv^2}{3L}$。除以墙壁面积 $A$（注意体积 $V = L \cdot A$），得到压强：
  
  \[p = \frac{F}{A} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V} = \frac{1}{3}nm\overline{v^2}\]
6. 因为单个分子的平均平动动能 $\overline{\varepsilon_t} = \frac{1}{2}m\overline{v^2}$，把其中的 $m\overline{v^2}$ 替换为 $2\overline{\varepsilon_t}$，公式即变为：
  
  \[p = \frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_t}\]

4. 理想气体温度公式（左边红圈）¶

公式：

\[\overline{\varepsilon_t} = \frac{3}{2}kT\]
大白话推导：

这是宏观温度与微观动能的强行联立。

前面我们知道了微观算出的压强是 $p = \frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_t}$，而状态方程告诉我们 $p = nkT$。

让这两个压强公式面对面建群（相互相等）：

\[\frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_t} = nkT \implies \overline{\varepsilon_t} = \frac{3}{2}kT\]
物理本质：温度的本质就是分子平动动能的体现！ 气体越热，分子抖动、乱撞得就越狂暴。

5. 能量均分定理与内能¶

核心思想：每个自由度（分子可以运动的独立方向）都平分到相同的平均能量：

\[\frac{1}{2}kT\]

。
自由度 $i$ 的通俗划分：
- 单原子分子（如 $\text{He}, \text{Ne}$）：只能在 $x,y,z$ 三个方向平移，自由度 $i = 3$。
- 刚性双原子分子（如 $\text{O}_2, \text{N}_2$）：除了 3 个平移，还能绕轴做 2 个方向的转动，自由度 $i = 3 + 2 = 5$。
- 刚性多原子分子（如 $\text{H}_2\text{O}, \text{CO}_2$）：3 个平移 + 3 个转动，自由度 $i = 3 + 3 = 6$。
分子平均总能量：

\[\overline{\varepsilon} = \frac{i}{2}kT\]
理想气体内能 $E$（一整箱气体的总能量）：

内能 = 摩尔数 $\times$ 阿伏伽德罗常数 $\times$ 单个分子平均能量。

\[E = \nu \cdot N_A \cdot \left(\frac{i}{2}kT\right) = \nu \frac{i}{2}RT = \frac{i}{2}pV\]

6. 麦克斯韦速率分布律 & 三种统计速率（右边超级大红圈）¶

气体分子虽然都在乱撞，但它们的速度是有规律的。大部分分子都在一个中间速度范围内，极快和极慢的都是少数。

为了描述这个规律，引入了麦克斯韦速率分布函数 $f(v)$，满足归一化条件：$\int_{0}^{\infty} f(v)\text{d}v = 1$（意思是个体概率加起来等于 100%）。

重点来了！根据这个分布曲线，诞生了三种不同的代表性速率。考试特别喜欢让你填空或比大小，推导和记忆方法如下：

① 最概然速率 $v_p$（最可能出现的速率）¶

公式：

\[v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}} = \sqrt{\frac{2RT}{\mu}}\]
推导来源：它是速率分布曲线顶峰（最高点）对应的速率。数学上只需要对麦克斯韦分布函数求导，并令导数等于0（$\frac{\text{d}f(v)}{\text{d}v} = 0$）就能解出来。
记忆法：顶峰就是“众数”，代表绝大多数分子最倾向于拥有的速度。

② 平均速率 $\overline{v}$（大锅饭平均数）¶

公式：

\[\overline{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu}}\]
推导来源：数学上的算术平均值，计算方法是：$\overline{v} = \int_{0}^{\infty} v \cdot f(v)\text{d}v$。
记忆法：公式里带有圆周率 $\pi$。

③ 方根平均速率 $\sqrt{\overline{v^2}}$（与能量、压强直接挂钩）¶

公式：

\[\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}}\]
推导来源：从温度公式 $\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT$ 直接开根号推导而来：$\overline{v^2} = \frac{3kT}{m} \implies \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$。
记忆法：因为跟能量（3维空间）挂钩，所以根号里是 3。

⚠️ 死记大小排序（考场秒杀题）：

因为 $3 > \frac{8}{\pi}(2.54) > 2$，所以：

\[\sqrt{\overline{v^2}} > \overline{v} > v_p\]

口诀：方根 > 平均 > 最概然（“方平最”，或者记数字根号里分别是 3、2.54、2）。

7. 玻尔兹曼分布律 & 重力场分布¶

核心思想：如果把气体放在重力场等外力场中，分子不仅受热运动影响，还会受到外力吸引。
数密度按高度分布：

\[n = n_0 e^{-\frac{mgh}{kT}}\]
等温气压公式：

\[p = p_0 e^{-\frac{mgh}{kT}} = p_0 e^{-\frac{\mu gh}{RT}}\]
大白话理解：海拔越高，空气越稀薄，气压越低。公式里的负号表示高度 $h$ 越高，密度 $n$ 和压强 $p$ 呈指数衰减。

8. 气体分子碰撞频率和平均自由程¶

平均碰撞频率 $\overline{Z}$：一个分子在一秒钟内和同伴相撞的平均次数。

\[\overline{Z} = \sqrt{2}\pi d^2 \overline{v} n\]

大白话：分子直径 $d$ 越大（块头大）、数密度 $n$ 越大（人挤人）、速度 $\overline{v}$ 越快，撞车的频率就越高。
平均自由程 $\overline{\lambda}$：分子连续两次碰撞之间，能自由走过的平均距离。

\[\overline{\lambda} = \frac{\overline{v}}{\overline{Z}} = \frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n} = \frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2 p}\]

大白话：房间越挤（$n$ 或 $p$ 越大），你没走几步就会撞到人，所以自由行走的平均距离 $\overline{\lambda}$ 就越短。

刚体类型	转动轴位置	转动惯量 I
细棒 (长 \(L\))	绕一端	\(I = \frac{1}{3}mL^2\)
细棒 (长 \(L\))	绕中心	\(I = \frac{1}{12}mL^2\)
圆盘/圆柱 (半径 \(R\))	绕中心轴	\(I = \frac{1}{2}mR^2\)
球体 (半径 \(R\))	绕直径	\(I = \frac{2}{5}mR^2\)

简谐振动量	对应旋转矢量特征
振幅 \(A\)	矢量的模长
角频率 \(\omega\)	矢量逆时针旋转的角速度
初相位 \(\phi_0\)	\(t=0\) 时矢量与 \(x\) 轴正方向的夹角
瞬时位移 \(x\)	矢量在 \(x\) 轴上的投影
运动方向	矢量在上方（第一、二象限）时，\(v < 0\)；在下方时，\(v > 0\)

模型	恢复项	惯性项	周期 T
弹簧振子	劲度系数 \(k\)	质量 \(m\)	\(2\pi\sqrt{m/k}\)
单摆	重力因素 \(g/L\)	(抵消)	\(2\pi\sqrt{L/g}\)
扭摆	扭转常数 \(K\)	转动惯量 \(I\)	\(2\pi\sqrt{I/K}\)